Editor — Рассказы о математике

"Александр,в нашей с вами философской переписке,которую Вы опубликовали на сайте (http://e-vi.org/PHYL/PHYL.HTM),есть в Вашем письме,такое место —

Все человеческие "мысли" слабы в принципе,и это доказывается математически.

А как это возможно доказать,Александр?

Что, математика располагает чёткими определениями слабости и силы?

Не то, что за человеческие мысли обидно,а просто интересны пределы(или беспредельность) математики.

Если найдёте время — напишите,любопытно".

Цикл рассказов как раз про это, и он посвящается Александру Балтину.

Рассказ первый. Задача Пифагора

        — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы.

        — Вот сколько, — ответил Пифагор, — половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще три женщины.

        В учебнике задача там, где уравнения.

        Ну, тогда и составляем уравнение:

        X/2 + X/4 + X/7 + 3 = X

Приводим к общему знаменателю (с ужасными, подозрительными дробями вроде 11/28), получаем в ответе X=28. С ответом совпадает. Подставляем в уравнение — да, совпадает. Но что-то, что-то здесь не так...

        Формулировка задачи забавна, литературна. Математика важнее всех, природа — вполовину меньше, проводить время в размышлении — сомнительное занятие, во всяком случае, не изучение, а женщины вообще "кроме того".

        А если кто изучает и математику, и природу? Возможно, кто-то из изучающих проводит время в размышлениях. Да это совсем не та задача! Уравнение не годится. К тому же Пифагор не применял уравнений и не приводил дроби к общему знаменателю. Ничего этого тогда не было. И что теперь делать? Эти X/2, X/4 и X/7 могут совмещаться, да еще 3 женщины могут входить то ли в X/2, то ли 2 в природу, одна в размышления, или еще как.

Впрочем, нет — в условии сказано "кроме того".

        А все-таки, женщины — ученики, или они "кроме" учеников?

Допустим, у Пифагора женщины не ученики. Тогда про учеников известно только то, что половина учит математику, четверть... и т.д. Но тогда годится любое число, которое делится на 2, на 4 и на 7. Таких чисел сколько угодно. Например, учеников может быть 2x4x7=56, а также 560,5600... И во всех случаях три женщины кроме того. Вряд ли Пифагор ставил такую дурную задачу

(математики называют такие задачи "тривиальными"). Значит, 3 входит в искомое число X, а остальное — совмещенные полностью или частично половина, четверть и X/7.

        И кто сказал, что у задачи одно решение? Может быть, если по-разному распределять учеников по предметам, подойдет несколько чисел? Совсем непонятно, как решать.

        Рассмотренный тривиальный случай дает подсказку. Рассмотрим те самые большие числа: 56,5600... Если вычесть указанные доли,остается больше 3 учеников, которые "кроме" (X/2+X/4+X/7).

Попробуем почувствовать (но не доказать), что большие числа не подходят. Ведь математики, натуралисты и размышляющие в сумме образуют некоторую ДОЛЮ общего числа учеников; тогда те, что кроме, тоже образуют какую-то ДОЛЮ. А при увеличении общего числа все доли растут, женская тоже, и именно поэтому при больших числах остается больше 3 женщин.

        Теперь видно, как решать задачу. Проверим число, которое заведомо делится на 2,4,7 — это 2x4x7=56. Оно не подходит — 56 — (56/2 + 56/4 +56/7) = 56 — (28+14+8) = 56 —50 =6 (остается не 3, а 6 женщин). Много. Числа больше 56, по вышенедоказанным соображениям, пробовать не стоит — не подойдут. Пробуем числа, меньшие, чем 56, но такие, чтобы делились на 2,4 и 7. Есть такое число: 28. Пробуем — подходит. А меньше, чем 28, таких чисел нет (то есть таких, что делятся на 2,4,7). Если бы оказались, пришлось бы пробовать и их, накладывая по-разному доли.

        Итак, задача решается не уравнением, а перебором (можно было делать его и с единицы). При этом суть задачи в строгом доказательстве того, что среди чисел, больших 28, больше нет подходящих!

        Предусматривал ли Пифагор все эти умные вещи, или мы их сами придумали? Скорее всего — предусматривал. Здесь вправду простой вариант задачки, для детей. Числа нарочно были подобраны так, чтобы получилось единственное решение без совмещения.

Слегка измененная задача: "половина изучает математику, четверть — природу, восьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще восемь женщин" имеет три решения: 64, 32 и 16.

Как Вы думаете — решили мы эту задачу, или всего лишь изучили проблему (по-английски problem — задача)?

Математик ставит задачу; инженер ее решает; философ обдумывает — а та ли это вообще задача, которую следует решать. Кто же тогда литератор?

        А есть еще и монахи, и разбойники.

Рассказ второй. Плоскатики

Там, где живут плоскатики, нет высоты. Простые плоскатики про нее даже не слышали. Самые простые плоскатики, если на них смотреть сверху или сбоку, похожи на кусочки линии. Если вы такому плоскатику посмотрите в лицо, увидите точку.

Чем плоскатик круглее, тем он важнее. Например, есть Треугольники, Квадраты, Многоугольники и даже Верховная Окружность.

Сбоку они все похожи! Поэтому плоскатики узнают общественное положение наощупь. Есть формула представления: "Разрешите представить Вам для ощупывания моего друга мистера N и просить Вашего согласия быть ощупанным им". Приличный плоскатик может определить число углов правильного многоугольника, ощупав всего только один его угол.

Однажды Сфера проходила плоскость насквозь, с одной стороны на другую. Она даже не заметила плоскость — ведь плоскость бесконечно тонкая. А плоскатики увидели недостойное поведение круглого Священника: сначала он раздувался, потом стал уменьшаться, а в конце превратился — о ужас — в Точку, и совсем исчез! (Представьте себе последовательные сечения сферы плоскостью).

Если плоскость жизни бесконечно большая и ровная, то можно идти вдаль по прямой бесконечно. Если на плоскости холмы, то заметить их трудно: ведь взгляд плоскатика изгибается вместе с поверхностью жизни. Но мы-то знаем, что поверхности могут быть кривыми и даже замкнутыми. Если плоскатики живут на поверхности сферы, то прямой путь приведет в точку старта, но с обратной стороны. При этом мы увидим, что плоскатик обошел вокруг сферы. (В модели Фридмана наш мир именно такой: летящий по прямой линии звездолет когда-нибудь вернется в точку старта. А пространство для полетов то сжимается в точку, то расширяется до максимального размера конечной Вселенной)

Самое время говорить о параллельных мирах. Представьте две параллельные плоскости. Плоскатики с разных плоскостей никогда не могут попадать друг к другу (хотя могут разводить досужие домыслы о жизни в параллельном мире) Напоминаем, что с одной плоскости другая не видна, взгляд не выходит из поверхности. Теперь представьте, что эти две плоскости выгнуты друг к другу и соприкасаются. Тогда настойчивый путешественник сможет отыскать проход и переползти на другую плоскость.

Можно представить еще много чего интересного. Например, на плоскости может торчать вырост вроде пузыря на ножке или родинки. При этом всей остальной плоскости до этого пузыря нет никакого дела, и издали никак не понять, есть он или нет. А если кто-то знает тайное место перехода, он сделает несколько шагов в нужном месте в нужную сторону (по ножке), и спрячется в пузыре. Такие сказки любил знаменитый исследователь джунглей Южной Америки П.Фосетт. Его сын обработал и издал дневники экспедиций — всех, кроме последней. Возможно, Фосетт верил легендам про могущественные тайные города в джунглях, про негаснущий свет в окнах башен на границах тайных территорий, да и сам он кое-что видел (или это ему почудилось). Последняя экспедиция бесследно исчезла.

В плоской Вселенной возможны быстрые межзвездные полеты.

Например, если лист жизни изогнут так, что точки на разных концах листа смыкаются — тогда можно найти путь короче, чем со стороны изгиба листа.

Плоскатиков придумал Эдвин Эбботт и написал про них в книге "Флатландия", изданной в 1880 году. Вот часть предисловия к книге Д. Бюргера "Сферландия" (Роттердам, 1957 г.):

"... автором романа о Флатландии, который приобрел международную известность, был англичанин Эдвин Э. Эбботт. Он был не математиком, а необычайно одаренным и квалифицированным педагогом. Мистер Эбботт родился 20 декабря 1838 г, а в 1865 г стал директором одной из лондонских школ. Помимо знаменитой "Флатландии", изделиями его пера были школьные учебники, несколько теологических работ, биография Бэкона и "Шекспировская грамматика", которая также приобрела большую известность. Умер Эдвин Э.Эбботт в 1926 г в возрасте 87 лет". На всякий случай проверяем эти цифры: 1926 — 1838 = 88 , а не 87. В чем тут дело, не знаю :)

Слово "плоскатики" сообщил мне физик Н.Козимиров в незапамятные времена. Может быть, он и придумал слово.

------------------------------------------------

Могут ли плоскатики сами, без нас, узнать, что их мир искривлен?

Вот обычный пример из научено-популярной литературы.

Представьте себе треугольник на сфере. Прямые на сфере — это меридианы (фрагменты наибольшей окружности). Видно, что в большом треугольнике, составленном из прямых, углы будут увеличены, и их сумма будет больше 180 градусов. Значит, если свет идет по линиям кратчайшего расстояния, и плоскатикам известна модель неискривленной плоскости, и они живут на сфере, то они смогут обнаружить кривизну поверхности без длительных путешествий. Такой опыт делали. В начале 20 века с помощью оптических приборов измеряли сумму углов треугольника, образованного тремя горными вершинами в Швейцарии. В пределах погрешности измерений сумма оказалась равной 180 градусам.

Учитывая опыт с простой задачкой (см. очерк 1), теперь будем сомневаться... Были слова: прямая, расстояние. Какая еще прямая на поверхности?

Какой-то "свет" затесался в нашу тему и занял там неподобающе почетное место. Как это вышло?

Что такое расстояние? Вернее, в КАКОМ понимании (применении) расстояния нас интересует кривизна мира? Мы ходим по нашим полям и лесам, и хотим пешком попасть в одно другое место. Одни лесные тропы короче, другие длиннее. Как получается число, которым выражена длина пути? Нам нужно число шагов. Испробовав все тропы, мы найдем кратчайшую. А как уложить шаги? А МОЖНО ли уложить шаги? :)

За поворотом не видно, как идет тропа. На поле видно, куда идти. Если идти туда, куда видно, путь короче. 1) Это экспериментальный факт? это проверено? 2) Свет тоже пробует все варианты пути? 3) И как в нем укладываются шаги?

С прямыми линиями на поверхности математики более или менее разобрались. Они ввели понятие геодезической кривой — это кривая, которая, так сказать, везде идет по локально кратчайшему расстоянию.

(За это определение меня будут бить:) Расстояние (и геодезические кривые) можно вводить по-разному. Как понимают эти термины, когда говорят "свет распространяется по геодезическим линиям"?

А вдруг между вершинами нет пути шагами такой же длины, которую проходит луч света? Опыт с треугольником может показывать, что мир-то всё равно крив, а вот свет идет по прямой вне мира пешеходных путешествий.

(Скорее всего, опыт этого не показывает).

Вопросов много. Но у нас и книжка есть! Давайте-ка почитаем сначала ее — интересно, что написал про эти таинственные предметы в 19 веке Эдвин Эбботт, автор "Шекспировской грамматики".

Рассказ третий. Статистика знает всё

Кто не играл в такую игру — отвечаем на анкету. Вопрос, типа: "Вы, когда начинаете, вы сразу всовываете и кончаете, или сначала ласкаете?" Все дружно отвечают — мы сперва ласкаем! — и получают в ответе, что любят правильно. И все в таком духе, прямо в лоб.

А бывает, что экзаменатор быстро задает вопросы:

— "5 или 4"?

— "Кто не синий?"

— "Три ли тещи?"

— "Или не он, или 10?"

И так примерно 200 вопросов. А потом говорит: нет, в наших органах вы работать не будете. Вы, товарищ, склонны к спонтанному надувательству других и безответственному поведению! Да на каком основании?! Да как вы узнали?! Оказывается, основание есть.

Вспомним тему прошлого очерка и представим себе многомерное пространство. Или нет, сначала наше, трехмерное. А в нем –репер. Репер — это три направления, по которым можно измерить расстояние до любой точки. Например, угол Вашей комнаты. От него можно вдоль стен отсчитать расстояние до любого предмета в комнате. Три известные со школы оси X,Y,Z придумал во времена мушкетеров Рене Декарт. Теперь отложим по осям числа, которыми измерены характеристики людей.

По одной оси рост.

По другой — смелость

По четвертой — средний балл диплома

По пятой — число детей

По шестой ....

Характеристик можно придумать больше трех. Каждый испытуемый попадает в точку в пространстве этих осей. Это похоже на небо со звездами, но оно многомерное. КАК мы все это меряли, пока неважно. Как-то померяли даже смелость. Теперь простейший выбор — берем тех, кто дальше от начала координат по оси смелости, но не слишком далеко по осям "средний балл" и "рост". В начале координат, где все оси пересекаются, стоит 0. Значит, выбираем самых смелых, но не шибко умных и высоких, и в танк их! Хорошо? Может быть ...

Рассмотрим отвлеченную на первый взгляд задачу. Как расположены точки в пространстве измерений? Они равномерно заполняют всю область, или собираются в пространственные (многомерные) облака, фигуры?

Допустим, в проекции на оси "Смелость" и "Рост" испытуемые собрались в два облака: низкие смелые и высокие несмелые. Это уже, можно сказать, открытие. Вообще, если выборка образует четко различимую фигуру в проекции на пространство некоторых измерений, то говорят, что эти измерения коррелированы, или зависимы. Кто сможет увидеть эти фигуры в многомерном пространстве? Увидеть нельзя, но можно РАССЧИТАТЬ коэффициент корреляции между случайными величинами. Пример коррелированных (но не жестко зависимых) факторов: рост, вес, возраст и должность.

И все-таки, есть ли облака в пространстве характеристик? Напомним, что каждая точка соответствует одному (или нескольким)испытуемым. Пространство характеристик многомерно, нарисовать его на бумаге трудно, одни цифры. Но можно произвести (иногда несложные) вычисления, которые покажут, есть ли облака. Если есть, то каждое облако соответствует группе людей, в каком-то смысле похожих. Чаще всего совершенно непонятно, в каком именно смысле, но на группы они делятся! Такие группы называют кластерами, а занятие это — кластерным анализом. Попробуем понять, в каком же смысле похожи представители кластера. Для этого выберем типичного представителя, который расположен в самой середине облака (середину многомерного облака тоже нельзя увидеть, но можно вычислить).

Итак, пусть выборка образует два кластера, в которых типичные представители — А и Б. Ставим их перед строем и смотрим, что же это за люди. И если мы сможем сформулировать или хотя бы внятно почувствовать, как именно они совсем разные ("Свой в доску", "Дохлая интеллигенция"), то пространство измерений было выбрано хорошо.

Формулы все простые. Искусство авторов теста состоит в выборе характеристик для измерения! Удивительно, что если рассмотреть пространство характеристик вроде такого:

По одной оси рост.

По второй — вариант ответа ("да" или "нет") на вопрос "три ли тещи?" (это измерение, в отличие от нашего пространства, дискретное)

По третьей — цена брюк испытуемого

По четвертой — сумма цифр номера его машины

По пятой — число детей

По шестой ....

то может оказаться, что испытуемые делятся на кластеры, соответствующие каким-то четким формальным ("ветеран труда", "школьник начальных классов") или неформальным характеристикам ("свой в доску", "дохлая интеллигенция"). Конечно, не наверняка, а с известной вероятностью. Для некоторых тестов профориентации вероятность получения верной характеристики близка к 100%. Еще раз обращаем Ваше внимание на то, что возможны тесты-игрушки (поводы поговорить) и тесты-приговоры. В книжках можно встретить, например, тесты, размещающие вашу личность в какой-то классификации (шизоидный тип, параноидальный, антишизоидный и т.п.) Это можно рассматривать, как способ структурировать деятельность, дать опору для дальнейшего чтения\разговора. Между тем, если тест профпригодности с вероятностью 98% дает 90-балльное смирение, то лучше авиадиспетчером вам не быть.

(Заметим, что к результату теста приложена вероятность правильности этого результата).

Это самое "смирение" может означать, что когда авария неминуема, Вы, горестно обхатив руками голову, упадете ею на пульт и прекратите работу. Между тем, 1) кое-что возможно (и даже предписано) сделать и после аварии 2) можно было предотвратить аварию, вы ошиблись в оценке неотвратимости.

Итак, отвечая на вопросы серьезного теста, Вы, скорее всего, не поймёте, что именно хотят о Вас узнать (и, скорее всего, они это узнают). А если Вы вынуждены проходить тест, в котором мало вопросов и они поставлены "в лоб", то этот тест — игрушка, и важных решений на основании такого тестирования принимать не стоит.

Рассказ 4-й. Порождение зверя

Давайте свободно придумаем зверя. Совсем нового зверя, которого в природе нет, но которого хочется. Отвлекитесь от этого текста и придумывайте зверя!

Покажите друг другу своих зверей.

Классные получились звери?

Я утверждаю, что нового зверя придумать Вам не удалось. Вы сделали зверя из привычного материала по простым правилам.

Вот по этим:

1. Изменение количественной характеристики (очень большая мышь, семь хвостов)

2. Удаление свойства (совсем без хвоста)

3. Перенесение свойства от другого зверя (ковёр-самолёт)

Теперь, однако, придумывайте опровержения. Число правил можно и уменьшить, считая (2) частным случаем правила (1) (ноль хвостов:). Что же, наша фантазия имеет такие маленькие возможности?

Потом разберёмся Сейчас поиграем с тем, что нам показано, и именно с ФРЕЙМОВОЙ МОДЕЛЬЮ знаний. Её придумал психолог и лингвист Марвин Минский в 40-х годах 20 века. Это очень старая, забавная модель.

Фрагмент моей статьи 80-х г (для компьютерщиков):

В чем суть фреймовой модели ? Во-первых, предполагается, что все знание субьекта состоит из относительно целостных фрагментов — фреймов. Frame по-английски и обозначает «фрагмент», или «рамка» Относительная целостность означает, что существуют такие отношения между фреймами, для рассмотрения которых не нужно знать внутреннюю структуру фрейма. Образно говоря, применительно к некоторым ситуациям внутреннее содержимое фрейма как бы заключено в рамку, или ИНКАПСУЛИРОВАНО. Аналогами фрейма в современных языках программирования являются: пакет в языке Ada, класс в языке C++, обьект в Borand Pascal, кластер в CLU и другие.

Фреймы могут быть вложенными. Внутреннее содержимое фрейма — это снова фреймы и отношения между ними. Возможна ситуация, при которой какие-то компоненты не определены, однако на их месте оставлены пустые места, на которые выведены все нужные связи от других компонентов. Эти пустые места Минский назвал СЛОТАМИ, т.е. тем же термином, которым сейчас обозначаются разьемы для вставки плат в компьютере.

Например, кот может быть рассмотрен как целостный обьект, т.е. при наблюдении за общим поведением дворовых котов может быть несущественно, как ведут себя усы в каждом отдельном коте. Кроме усов, в коте определены компоненты "имя" и "цвет", но эти компоненты не заполнены. Кот вообще (прототип кота) — это кот без имени и без цвета. Мой кот (экземпляр кота) — это кот с именем=Мурчик и цветом=черный. Эта процедура называется НАСЛЕДОВАНИЕМ. Могут быть определены имя и цвет по умолчанию, тогда все неуточнённые коты будут черными Бегемотами. В языке C++ прототип кота — это экземпляр базового класса, а мой кот — экземпляр производного класса. Различие между прототипами и экземплярами является относительным — практически каждый фрейм может быть и экземпляром, и прототипом безотносительно к наличию или отсутствию слотов. Просто некоторые фреймы в основном используются только как прототипы. Например, приятная эмоция — это экземпляр фрейма "Эмоция", а чувство приятной сытости — экземпляр фрейма "приятная эмоция". Возможно замещение одних компонентов фрейма другими, в том числе путем сцепления фреймов за счет общих компонент. Замещаться может не только пустой слот, но также и заполненный, но при этом заменяющий обьект должен быть допустимым для замещения, т.е "подходить" к этому слоту. Можно вообразить себе такой экземпляр моего Мурчика, у которого хвост=петух.хвост (хвост петуха вроде бы можно в первом приближении приставить к коту), но кот, в котором хвост=чувство приятной сытости, запрещен. Хотя это частный случай наследования, этот процесс имеет специальное имя "ПОЛИМОРФИЗМ".

Обратите внимание на то, как сильна фреймовая модель: Вам вряд ли удастся придумать фантастическое животное так, чтобы способ его порождения не соответствовал фреймовой модели.

Фреймовую модель очень просто реализовать, если все определено заранее, и очень сложно — если фреймы динамически меняются в процесе выполнения программы. Процедура модификации фреймов путем заполнения слотов или замены одних компонент другими называется также СВЯЗЫВАНИЕМ. Если фреймовая модель применяется только на этапе проектирования программы для упорядочивания знаний программиста, требуемых для этого проектирования, а в готовой, оттранслированной программе уже никаких фреймов нет или они не меняются, то это РАННЕЕ связывание. Если же само исполнение программы представляет собой функционирование фреймовой модели предметной области, то может понадобиться ПОЗДНЕЕ связывание. Вся история развития обьектно-ориентированных языков программирования последних лет, и особенно языка C++, представляет собой судорожное метание между ранним и поздним связыванием в погоне за возможностью эффективной реализации — совсем так, как убегающий от собаки кот ищет дырку в заборе.

Современное примечание:

Сейчас вообще нет пристойной системы программирования для винды. И хрен с ней, must due!!! Микропроцессорщики прекрасно обходятся без всей той хрени, и вышеприведенное описание можно рассматривать как светлое воспоминание о советской лженауке. И буржуазной тоже :) Может быть, кто-то даже помнит книги Гради Буча….

Посмеемся на нашим прошлым, но немного подумаем: а может быть, в нашей психике всё же есть место, занятое фреймовой моделью?

Задачка про зверей, это будет такая математическая разминка перед следующей темой о психике

Из переписки в блогах blogs.mail.ru/...

Серж Мате:

Вот так прямо!?

Зверь был красив!Сине-красная и волосато-корнями покрытая кожа хит зверя.Одна особенность:ноги зверя всегда под соусом и с остатками хвоста.

я отвечаю:

Спасибо. Вот оператор описания Вашего зверя в нотации Э.Х.Тыугу (эстонский учёный):

MateAnimal: GeneralAnimal with

beauty, skin.color=0.5*Colors.Red+0.5*Colors.Blue, skin.hairs=GeneralTree.roots, takepartin=hits, foot.position=dish7.foot.position, tail.load=GeneralPrograms.PartlyDestroyer;

Здесь load — та программа, которая выполняется первым делом при загрузке обьекта в работу (инициализатор). Он частично рарушает хвост. Dish7 — это то блюдо (пусть под номером 7), которое Вы держаи перед глазами (холодец чтоль какой-то вкусный....)

я сознаю, что skin.hairs=GeneralTree.roots не совсем "волосато-корнями покрытая".

Ваша формулировка играет с языком описания обьекта, а не с самим обьектом. Мы можем сами фразы нашего разговора курочить, как Хлебников или Кручёных, а то и случайным образом менять, и это тоже креатив, но не про зверя.

впрочем,можно и "волосато-покрытую" запихать в обьектную модель, если в каком-то прототипе определить покрытие.стиль и т п

Рассказ 5-й. Три задачи

Задача первая, совершенно канцелярская (из жизни нашего издательства)

Случайно перевернули ящик с авторскими договорами. Теперь надо их поставить обратно в ящик в алфавитном порядке фамилий. Чтобы почувствовать всю прелесть задачи, рекомендую Вам рассыпать какую-нибудь картотеку у себя на работе или в другом оффисе.

Казалось бы, чего тут сложного, группируй в кучки ... но как? «Вставляй в середину правильным образом». Это хороший метод, и он даже имеет название «сортировка включением». Но при этом приходится пролистывать стопочки, которые уже уложены. Не так-то легко решать задачу сортировки, хотя это и не безнадёжно трудно. Вполне по силам.

Теперь как проверить, что карточки рассортированы правильно?

Можно делать так: брать от начала к концу по две и проверять, правильно ли, что вторая стоит дальше первой (сравнивая каждые две подряд идущие). Если карточек N, то придётся сделать N сравнений (и по N операций доставания пары карточек и закладки их обратно). То есть всего придётся сделать что-то около 2*N на доставание да 2*N на возврат обратно да N сравнений, всего 5*N операций. И насколько же это легче, чем сортировать!!! Знай себе перебирай карточки да смотри на каждые две под пальцами. Пролистал, и готово.

Математики говорят, что трудоёмкость этой проверки О(N) операций. То есть операций нужно примерно N (множитель 5 несущественен. Ну, может, 4 или 6. Считается, что на трудоёмкость это не сильно влияет)

Но раз так легко проверить, почему не так легко сделать?

Решить задачу сортировки действительно труднее, чем проверить решение. Плохие алгоритмы сортировки имеют сложность О(N в квадрате). Пишем O(N**2). Здесь «**» — обозначение степени. 2**3=2*2*2=8

То есть если Вы опрометчиво рассыпали не 20, а сотни две карточек, то для укладки их обратно Вам придётся сделать 200**2=200*200=40 000 операций. Это будут операции подхода к кучке, просмотра каждой карточки в той кучке, куда вставлять, сравнения с той, что в руках и т.п. Простые операции, но их 40 тысяч.

Лучшие известные алгоритмы сортировки имеют трудоёмкость O(N *logN). Это при больших N куда меньше, чем N**2, но куда больше, чем просто N… Логарифм по какому именно основанию, это для оценки трудоёмкости считается несущественным.

Задача вторая, «экономическая»

Рассмотрим модельную задачу, называемую «Задача коммивояжёра». Коммивояжёру нужно обойти по коммерческой надобности N городов, побывав в каждом городе ровно по одному разу, так, чтобы длина пути была кратчайшей.

Начнём с более простого, а именно: как проверить полученное решение. Допустим, что решения лежат где-то в куче, и на каждом написана его длина пути. Берём первое и кладём посреди комнаты. Берём следующее и смотрим: если оно длинее, чем то, выбрасываем его. А если очередное выбранное из кучи короче того, что посреди комнаты, тогда кладём его в середину, а то выбрасываем. Это — алгоритм поиска наименьшего, он имеет трудоёмкость O(N). !Но мы забыли, что ещё ж нужно было проверять правильность пути в каждом варианте! То есть проверять тот факт, что коммивояжёр на данном пути не схалтурил, был в каждом городе. И только по одному разу. Наверно, теперь труднее, чем O(N)…

Можно доказать, что трудоёмкость ПРОВЕРКИ задачи коммивояжёра(К) такая же, как у РЕШЕНИЯ, но задачи сортировки.

А вот какая же тогда трудоёмкость решения задачи К?

Ответ удивительный.

Трудоёмкость куда больше, чем O(N**2) и даже больше, чем O(N**M), где M-любая константа. Такие задачи историк математики Б.В Бирюков назвал NP-сложными (НеПолиномиально сложными). Похожий распространённый термин: NP-полная задача (NP-complete).

Итак, для решения задачи обхода 20 городов может понадобиться куда больше, чем 20**4= 20*20*20*20=160000 операций… Конечно, если повезёт, и будет какая-нибудь очень лёгкая комбинация городов (например— много расположены в ряд), то меньше. А в общем случае без компьютера точно не обойтись.

А при больших N и компьютер не поможет.

Задача К имеет трудоёмкость O(M**N). Чему равно M, несущественно. Всё равно это такие большие числа… Пусть 100 городов, тогда пусть 2*100, это сколько будет?...

Сегодня не умеем решать задачу К.

Ничем. Ни мозгами, на копьютерами…. С увеличением N трудоёмкость растёт слишком быстро. Не хватит всех компьютеров галактики.

Задача же сортировки P-сложная (полиномиально-сложная)(принципиально проще).

У тех учёных, которые сравнивали трудоёмкость решения задачи и трудоёмкость проверки решения задачи, возникли два предположения.

(1) Если решение задачи проверить просто, это была трудная (но решаемая) задача

Если решение задачи очевидно, то это была простая задача

Уж если и решение задачи проверить трудно, то это была совсем неподьёмная задача.

(2) Голос оптимиста: если уж возможна P-сложная проверка, то и сама задача была не более чем P-сложная. Это голос вредных преподов: «Мы же тут за пивком их контрольные проверяем, так значит, они там за пивком вполне могут их решать». По этому мнению, сложность проверки и решения принципиально одинаковы. И тогда задача К на самом-то деле тоже всего лишь P-сложная (как и сортировка), но мы просто ещё не знаем этого алгоритма, а знаем только NP-сложные алгоритмы.

Для отдыха: является ли (2) отрицанием (1)?

Предположение вредных преподов (2) — это гипотеза, которая в математике не опровергнута и не доказана.

Мы можем почувствовать, что есть задачи принципиально разной сложности.

Возможно, есть неразрешимые даже для машин.

Возможно, простых задач нет.

Задача третья, охотничья

Допустим, охотник идёт по лесу и видит мелькнувшую впереди большую жёлтую кошку. Он стреляет в кошку.

Таки это и была кошка. В окрестностях села встречается хозяин кошки, который ломает ружьё и самого охотника об дерево.

Допустим, охотник идёт по лесу и видит быстро мелькнувшую кошку. Он полагает, что это и есть кошка, тем более, что до села недалеко. Теряет бдительность, и через полчаса становится добычей рыси, которая прыгает ему на плечи с ветки. Рысь то была…

Рысь лишь немногим больше хорошего кота. Что до кисточек, то их ещё надо разглядеть (если они вообще там есть). В рыси есть: усы, цвет=жёлтый, форма=кошка.форма и пр. ( вспомним рассказ про фреймовое представление знаний)

Допустим, Вы идёте по Москве, вдобавок без документов, и в конце квартала видите двоих мужчин с кучерявыми движениями, и один подносит к лицу не то рацию не то большой мобильник. Вы человек нервный, и прижимаетесь к стене. Те тоже нервные — они разворачиваются и убегают. Ни они, ни Вы и не милиционеры и не бандиты.

Всё это ошибки распознавания.

Рассмотрим эту задачу.

Назовём графом набор узлов, связанных линиями. Удобно представлять узлы в виде шариков различного размера и цвета. Связи — в виде цветных верёвочек. Связи показывают ОТНОШЕНИЯ между компонентами понятия, например, если на голове есть фуражка, то от головы идёт линия к фуражке. От человека — к мобильнику (коммуникатору). В узлах хранятся, например, числовые характеристики (размер коммуникатора= большой, маленький).

Предположим, что есть два графа, узлы и верёвочки которых перепутали, и в таком виде обе сети бросили на пол. Как узнать, одинаковые ли это графы?

Или хоть в каком-нибудь смысле похожие?

Задача установления изоморфима графов является NP-сложной.

То есть В ПРИНЦИПЕ, даже имея как угодно мощный компьютер, графы можно сравнить лишь приблизительно.

И если наши понятия о предметах представимы в виде графов (а фреймовые — представимы), тогда мы эти предметы даже толком сравнить не можем.

Идентифицировать (распознать) не можем.

Такие ситуации Вам знакомы. Иногда мы распознаём ситуацию с точностью до имеющегося у нас в понятиях фрейма (внешнй облик, одежда). Образ врага по одежде и речи. Что внутри фрейма (экземпляра врага), на разбор этого у нас не хватает времени… Действительно, иногда похоже, что сознание орудует фреймами и графами. Тогда не удивительно, что мы так глупы.

Это вовсе не разум слаб, это задачи сложны.

А если совершенство разума всё-таки возможно? Гипотеза (2) не опровергнута. Вдруг в мире фреймов(подграфов) и графов есть быстрые алгоритмы сравнения, только им надо научиться?

Вдруг марсиане что-то такое умеют?

Вдруг в наших понятиях вмещаются не все вообще графы, а только такие, с которыми возможно быстро работать?

Так думали математики некоторое время, пока не узнали, какие на самом деле и как мы решаем задачи. Об этом в следующих рассказах.

Рассказ 6-й. Матрица

Мозги промыть,

отварить,

откинуть на дуршлаг

и подавать с горошком

(Книга о вкусной

и здоровой пище)

Ответ заключается в том, что мозг вовсе не сравнивает обьекты и не порождает обьекты.

У него другая задача.

Вы чувствуете и делаете. Для того, чтобы сделать, у Вас есть руки, ноги, это для работы; коленки, лопатки, и ещё много восхитительных вещей… Какое-то количество органов для действий у Вас есть; и есть какое-то количество входов, через которые поступают чувства. Говорят, что их 5. Вернее будет сказать, что это каналы, через которые поступает информация.

Сколько её поступает, и сколько информации мы производим? Мы видим глазами очень подробные и сложные картины «на входе», и вроде бы производим в ответ движения, взятые из довольно стандартного набора, «на выходе». Кажется, что информации на выходе у нас меньше, чем на входе. Если так, тогда мозг — это машина свёртки, т е отображения многих параметров в немногие. Может, оно и так, а может, и не так. Ведь движения и положения тела у нас плавные, число «степеней свободы» нашего тела+голоса довольно велико. Пока что зафиксируем найденное нами свойство (или функцию) организма:

— он производит действия в ответ на действия, которые производят с ним.

Жизнеспособный организм «правильно» реагирует на ситуацию, иначе его, например, сьест рысь (см. рассказ 4). Но в самом деле, откуда берётся такая гордыня полагать, что только наш Разум может разбираться в событиях мира? :) Ведь разборщиков вокруг полно, и это все звери да птицы да мыши. Все прекрасно исполняют свои низменные функции, а если и ошибаются, то не чаще нас. А вот кто или что в них разбирается, и как, это мы сейчас посмотрим.

Функции. «Функция» — это одно из самых частых слов в математике. Функция делает из набора входных параметров набор выходных. Записывается это так: Y=F(X). Здесь Y-параметры на выходе, Х — на входе (X и Y — это векторы, т е не по одному числу, а по многу), F— формула, или набор формул (правил), или прибор, который в ответ на поступиший вектор X выдаёт на «исполнительные органы» вектор Y. Исполнительный орган в зависимости от величины чисел Y, поступающих на мышцы, прыгает или низко, или высоко.

Если формула (прибор) F простая, то у неё будет мало гибкости в выходных реакциях.

Можно попытаться по обстановке корректировать какие-то параметры (детали) прибора F. Для этого, понятно, нужны какие-то ещё другие корректирующие приборы рядом. Именно так устроены мозги, которых вокруг нас в природе полным-полно.

Первый удивительный факт состоит в том, что если просто рядом свалить и лишь бы как соединить очень-очень простые приборы F, то на выходе этого клубка проводов и деталей можно получить достаточно разнообразные, «гибкие» сигналы.

При этом отпадает надобность в сознательной регулировке каждого прибора извне. Оно всё само бессознательно регулируется и, надеемся пока, устаканивается.

Каждый прибор (а они все одинаковы) — это нейрон. Нейрон имеет один выход и много входов. Выходной провод (это и в самом деле провод) называется аксон, входные — дендриты. Нейрон реализует какое ему повезёт от рождения, но примерно одно и то же F: Y=F(X). В исследованиях без ограничения общности полагают, что F нейрона — это сумма входных сигналов (некотрые поступают со знаком «минус», то есть вычитаются, а Y на выходе — всего одно число, а не вектор (один аксон на выходе). То есть совсем завалящие простенькие нашлись в природе приборы F — нейроны…

Выходы нейронов соединены хаотически (так оно само выросло) со входами других, а некоторые выходы торчат из мозга наружу и подключены к органам движения и к другим органам. Также некоторые дендриты начинаются в органах (чувств). Есть относительно специализированные «промежуточные» нейроны . Схема приблизительна, но на достигнутое обьяснение работы это не влияет.

Где же здесь находится сама бездна морали, т е «содержание» нейронной сети? Ведь мы отметили, что вид функций F не меняется. То есть сами клетки (нейроны) не изменяются (пока их не прихлопнут водкою. Они даже не делятся. Именно в нервной, не-регенерирующейся ткани были впервые обнаружены т. н. стволовые, или недифференцированные исходные клетки, из которых теоретически могли бы вырасти новые нейроны взамен погибщих. Но эта ремонтная система не работает). Итак, нейроны неизменны, а что же меняется?

Меняется проводимость в тех местах, где аксоны (выходы) одни нейронов соединяются со входами (дендритами) других. В каждом месте соединения проводов от нейронов (на контактной площадке) как бы заключено ЧИСЛО сопротивления сигналу. Эти числа могут изменяться.

Изменяются они сами по себе, и вот каким с виду естественным образом. Если через данное место стыка сигнал проходит часто, сопротивление здесь становится меньше нормального, и тогда сигналу проходить легче. Если сила сигнала превышена, контакт перегорает полностью или частично, сопротивление повышается, и возвращается к нормальному лишь через некоторое время.

Второй удивительный факт состоит в том, что такое поведение контактов и в самом деле (как можно было безосновательно догадаться) влечёт за собой эффект самообучения сети. То есть, грубо говоря, на «правильных» направлениях (тех, которые получают подтверждение от повторного исполнения программы поведения) проводимость снижается.

Это и есть нейронная сеть. Это ворох сумматоров, соединённых проводами с контактиками, на которых написаны ЧИСЛА проводимости. В этих числах всё-всё содержание сознания…

Пока подумаем, а как же получается, что РАЗНЫЕ топологии сети, да при них, понятно, несравнимые наборы чисел определяют такие похожие сознания? (топология — это что с чем соединено)

Рассказ 7-й. Заморочки

Щёлкни кобылу в нос, она махнёт хвостом

Козьма Прутков

Теперь мы знаем, как в принципе устроен мозг. Можем при нашем уровне знаний строить догадки о том, чего от него ожидать. Например, пусть в описанной сети есть группа клеток, по которым сигнал ходит постоянно как бы по кругу. Почему сигнал не пропадает? Да то ли он питается от источников энергии в самом мозгу, то ли немножко подпитывается от какого-то вялого внешнего источника, например, от тех нервов, что идут от органов чувств. А от этой группы клеток есть выходной сигнал (по аксону) куда-то на правую конечность. Однако уровень сигнала на выходе в обычном состоянии слишком мал для того, чтобы эту конечность привести в действие. Теперь допустим, что нашего мудреца пихнули на эскалаторе настолько сильно, что в означенной группе клеток уровень сигналов резко возрос, и правая конечность мудреца запустилась от того выходного сигнала в работу. «На автомате» он дал в морду предполагаемому обидчику, и в морду! И понеслось! ….

Проницательный читатель спросит, зачем здесь «группа клеток» с зацикленным сигналом в ней. Природа вполне могла предусмотреть прямую передачу сигналов от боков к рукам, чтобы если в бок, так сразу в морду. Всё правильно, такие соединения у нас есть, и Павлов назвал их рефлекторными дугами. А «группа клеток» работает не так, в ней заранее циркулирует запас энергии, которого почти хватает для запуска выходного сигнала. Лишь чуть-чуть добавить, и …. В морду, да. Одно неосторожное касание, а то и внутреннее представление или воспоминание. Ведь к нашей возбуждённой группе клеток подведены сигналы не только от рёбер, но и из каких-то неизвестно каких областей мозга, где происходит обработка запомненных образов, мышление… Вдруг как-то очень удачно подумает, и от самого процесса мышления недостающая энергия вкачается в возбуждённую область. И правая конечность сработает от того, что так решил «внутренний мир».

Это — умозрительные предположения. Однако интересно, что примерно так оно и работает. Возбуждение, торможение и рефлексы изучал Павлов; но он не связывал поведение с устройством сети, как вот вульгарно связали только что мы. Он накапливал экспериментальные данные о реакциях. Анатомию сети изучал тогда Гольджи; но он не строил математическую модель сети. Павлов писал «скучно» и узкоспециально, и публика читала в те времена больше не его, а Фрейда. Фрейд разрушал привычные стереотипы, он освобождал место для новых направлений исследования и давал возможность дышать легче. Зато теперь в НЛП реально работают механизмы, которые, можно сказать, описывал Павлов, да и секреты воздействия терапии и текстов Фрейда мы теперь понимать можем.

Чего тут точно нет, так это совершенства. Машина работает плохо.

Первое, такая сеть неустойчива. Такие мозги надо всё время усыплять и будить. Для этого вне мозга у нас есть специальные физиологические механизмы: железы внутренней секреции и даже синхроимпульсы вроде компьютерных…

Второе, даже и запущенная машина часто работает просто неправильно. Например, неподходящие сигналы тоже «сваливаются» в возбуждённую область и запускают (неадекватно) ту реакцию, за которую отвечает эта область, а не ту реакцию, которая нужна.

Из возбуждённых областей и связей между ними состоят «заморочки», или по павловской терминологии, «динамические стереотипы», или, по психоаналитической, «комплексы», или — как сейчас в основном их принято называть — паттерны. Pattern — значит «образец», одна из наших стандартных программ поведения.

Примеры «плохих» свойств паттернов:

— паттерны имеют свойство к разрастанию. Если человек не получает новых ощущений и знаний, его кругозор сужается, и реакции упрощаются.

— паттерны имеют свойство упрочняться при регулярном подтверждении того, что они подходят к обстановке.

О свойствах паттернов цитируем Де Боно:

«1.Паттерны становятся все более жесткими, поскольку они управляют нашим вниманием.

2.После того, как паттерны уже установились, изменить их очень трудно

3.Информацию, включенную как часть в один паттерн, довольно трудно использовать как часть совершенно другого паттерна.

4.Имеется тенденция к "центрированию", то есть все, что хоть немного похоже на стандартный паттерн, будет восприниматься как стандартный паттерн.

5.Паттерны могут создаваться на основе более или менее произвольных делений. Нечто непрерывное может быть разделено на отдельные единицы, развивающиеся независимо. Как только такие единицы возникают, они становятся самоподдерживающими. Разделение может сохраняться долго, исчерпав свою полезность, или вмешиваться в области, где оно вообще не является полезным.

6.Система обладает большой непрерывностью. Малое отклонение в одной точке может привести к большим отличиям позже.

7.Последовательность поступления информации играет слишком важную роль в ее организации. Таким образом, любая организация скорее всего не будет наилучшим размещением всей доступной информации.

8.Существует тенденция резко переключаться от одного паттерна к другому (подобно чернильнице-непроливайке с двумя устойчивыми положениями) вместо плавного перехода.

9.Даже если различия между двумя соперничающими паттернами очень тонки, один из них будет выбран, а другой — целиком проигнорирован.

10.Имеется сильная тенденция к "поляризации". Это означает движение к одной из крайних точек вместо удержания баланса где-то между ними.

11.Установившиеся паттерны становятся все крупнее и крупнее. Иначе говоря, отдельные паттерны связываются в одно целое, давая все более и более длинную последовательность, которая доминирует настолько, что становится паттерном сама по себе. Ничто в рамках самой системы не разрушает такие длинные последовательности.

12.Ум — система, создающая и использующая клише»

Можно физически разрушить неадекватный паттерн вместе с теми нейронами, которые отвечают за поддержку паттерна. Пьянице ДЕЙСТВИТЕЛЬНО легче после выпивки, потому что те заморочки, что мешали жить (чувствовать и соображать), разрушены — вместе с клетками мозга… Наверно, Вы слышали про такие ужасные способы «лечения», как электрошок или инсулиновый шок. Кроме вредных, разрушают и другие паттерны, т е саму личность.

Есть мастера, которые по определённым методикам могут изменять привычные схемы поведения с помощью всего лишь слов. Самый знаменитый из них — Милтон Эрикссон, который лечил больных тем, что рассказывал настоящие и выдуманные истории про себя и своих пациентов.

Рассказ 8-й. Обещанные картинки

Как если бы я считал «мышление» не имеющим силы, не зная, к а к я это делаю

(Р.Скиннер, Д.Клииз)

Мы знаем, как это работает, но всё-таки понять не можем. (При этом мы думаем, что понимание — это ценность). В прошлом рассказе я продемонстрировал попытки понимания (истолкования) поведения нейронной сети. Некоторые попытки были грубые и неуклюжие, некоторые правдоподобные и даже подтверждённые клинической практикой. Вернёмся к математике.

Итак, мозг никакие обьекты не сравнивает, не порождает формулы согласно правилам вывода, тем более он ничего не вычисляет (пока его не заставит препод).

По входным водействиям (на него) мозг вырабатывает ответные воздействия (на внешние предметы). (Заметим в скобках, что именно такое, обобщённое определение компьютеру дала дочь Байрона в 30-х гг 19 в.) То, что на выходе системы (наши действия), как правило, совсем другого рода, чем то, что поступает на вход. Солнечный свет и запах сосен — другое, чем наши ответные кувыркания на полянке. То есть мозг работает как отображение F: Y <— F(X), притом такое отображение, что множество Y выходных параметров вовсе не совпадает с множеством X входных параметров. Но внутри, в самом мозгу, нейроны и соединения расположены так, что выходные сигналы от групп нейронов могут оставаться внутри мозга. То есть в нейронной сети происходит многократное выполнение преобразований вида X <— F(X), где X — сигналы во «внутреннем формате» нейронов.

Итак, в нейронной сети «прогоняются» преобразования F: Xследующее <— F(Xпредыдщее), причём Xследующее c выхода снова подставляется на вход в скобки, и т.д. Такие процессы в математике хорошо изучены. Они называются «итерационные процессы». В 18 веке их начали применять для решения уравнений. Дело в том, что при определёнyых свойствах отображения F сигналы стабилизирутся. То есть через какое-то число итераций F уже почти не изменяет входной X, и получается приблизительное равенство X=F(X). А такой Х и есть приблизительное решение уравнения X=F(X). Обычно уравнение можно переписать в этом виде, причём разными способами в зависимости от того, какой X тащить в левую часть. И обычно можно подобрать при этом такую формулу F, что процесс СХОДИТСЯ.

В 18-м веке рассматривали в основном «хорошие», сходящиеся итерационные процессы, которые якобы могли иметь практическое применение для решения задач. Учёные поступали так, конечно, из-за морали, а аморальные учёные ориентировались на сходимость потому, что РАСХОДЯЩИЕСЯ итерации изучать было труднее. Сейчас мы рассмотрим картинки и обьекты, которые стали доступны лишь в наше компьютерное время…

Какие бывают виды расхождения итераций?

При многократной отработке X <— F(X) либо Х будет улетать куда-то далеко, либо будет крутиться неподалёку от начальной точки X0 в ограниченной области. При этом если Х один раз выскочил достаточно далеко, следующие улетят ещё дальше, и уже безвозвратно.

У начальной точки Х могут быть три варианта судьбы:

— первый: Х уткнётся в конкретное фиксированное место, и там останется (это — банальные и «полезные» сходящиеся итерации)

— второй: X улетит в бесконечность (это — расходимость такого сорта, которым особо не интересовались. Нейроны всё равно не пропустят, они «обрежут» сигнал большой мощности);

— третий: X будет попадать в разные места пространства, но все неподалёку от начального Х0.

Уже я словами изображаю картинки, давайте наконец посмотрим на них! Чтобы увидеть всё на экране (бумаге), предположим, что Х — точка на плоскости. В многомерном случае, полагаю, всё аналогично.

e-vi.org/...

Это очень модный, знаменитый обьект — фрактал, называемый множеством Мандельброта. Это и есть пришелец из мира высоких скоростей — чтобы вычислить цвет одной точки, нужно произвести многие тысячи операций. Бенуа Мандельброт открыл этот орнамент в 50-е гг 20 века с помощью экспериментальных компьютеров фирмы IBM. Про фрактал я скажу ещё через несколько строк, а пока смотрим на чёрненькую картинку внизу справа.

На маленькой картинке две не такие красивые, как множество Мандельброта, но всё же изящные мини-галактики, или два математических цветка. Они состоят из точек. Эти точки — те самые последовательные X, которые порождаются функией Мандельброта F. Начальная точка находится в месте смыкания малого и большого кругов вверху. Там на большой картинке крестик.

Точки на маленькой картинке разного цвета. Цвет определяет «возраст» точки, т е сколько итераций прошло до её появления в этом месте. Видим, что точки Х группируются в двух областях. Изображение судьбы (траектории) точки Х в процессе X<-F(X) называется ОРБИТОЙ.

Таким образом, паттерн F в мозгу живёт вроде итерационного процесса. Он пребывает то в состоянии, соответствующем левой спирали, то правой. Поскольку человек сидит спокойно, уровень сигнала на «выходах» паттерна недостаточен для того, чтобы запустить управляемое им действие. Человек сидит спокойно, а его состояние меняется от левой до правой спирали на маленькой чёрной картинке справа. Извне (или от других областей нейронной сети) на вход паттерна поступает дополнительный сигнал, который заставляет сработать поведение, соответствующее то ли левой, то ли правой спирали. Человек то ли обрадуется, то ли разозлится. То ли он всё время тапочком играет.

Возможно, эта “более математическая” модель имеет отношение к так называемым циклоидным состояниям психики. Болезнь называется МДП — маниакально-депрессивный психоз. Человек по нескольку дней пребывает в одном из двух ненормальных состояний: «депрессивном» или «маниакальном» (термины эти в разных отраслях психологии имеют разный смысл, это не та депрессия, которая бесчувствие у здорового человека). Здорового человека… МДП считается тяжёлой органической болезнью, и лечат её лекарствами или ужасными способами вроде тех, что описаны в рассказе 6. Между тем, возможно, это «информационная» болезнь, неверная программа (числа при синапсах), а сам компьютер (нервная система) в полном порядке.

С точки зрения наших моделей — когда ожидать поведения вроде МДП? Когда орбита состояний паттерна имеет неудачную форму; и главное, когда работает в основном ТОЛЬКО этот паттерн! Паттернов в мозгу много, и их предпочтительные состояния достигаются ими в разное время, а не одновременно. К тому же паттерны управляют совсем разными сторонами поведения. К тому же их состояние (текущее Х) зависит от наличия и силы внешней коррекции этого Х.

Для тех, кто запутался, напоминаем, что точка Х — это не точка в мозгу, а это состояние всего мозга или его части. Возможных состояний много, и каждое состояние мы изображаем цветной точкой на многомерной плоскости орбит. М-да, на многомерной плоскости : ) ….

Итак, циклоидные состояния должны возникать, если доминирует только один, притом «неудачный», паттерн, похожий на тот, что на маленькой картинке справа внизу. Если у него в голове только этот паттерн. Если жизнь пациента скудна. Если паттерны долгое время не менялись (как нам рассказывал Де Боно, паттерны имеют тенденцию 1)к упрочнению 2)к слиянию).

Вот любимое психологами сравнение. Человек ходит всё время по одной и той же местности. В конце концов его глаз «замыливается», и человек вместо местности начинает пользоваться её мысленной картой (либо ему сразу ДАЛИ карту). Как нам рассказывал Де Боно («центрирование»), человек может применять карту не от той местности — к совсем другой местности, которая показалась ему похожей на ту (или ему так велели). Если он не получает в ответ щелчка по носу, не падает в овраг, то он ещё больше укрепляется в убеждении подходящести этой карты. Сидя в одной и той же деревне, путешественник и вовсе перестаёт сверять местность с картой, и в конце концов в голове его остаётся только одна слишком простая карта от не пойми чего. Само наличие карты тормозит процесс сверки с местностью! Если доминирующий паттерн реализует итерационный процесс с двумя состояниями, имеем что-то вроде МДП; если итерационный процесс сходится (из почти любой начальной точки X0 в одну и ту же), тогда перед нами конвергентное мышление.

Образец такого конвергентного мышления только что Вам продемонстрирован. Математик, который занимался численными методами (это я), притягивает за уши «родную» модель к медицине. В самом деле, что ли, паттерны(?) МДП ты хочешь перестраивать словами, как Эрикссон?! Или фанатиков-изобретателей психотерапией лечить?

Сверяем с местностью. Пациент психиатров с виду вовсе не такой, как «здоровый» посетитель тренингов. Ему физически больно. Страшно. Он неправильно двигается, и скорее всего, вообще не воспринимает слов… Он и в комнате-то не удержится…

Это умозрительные построения.

То, что видит ум… То, что он хочет «понять».

Теперь наконец вернёмся к большой, разноцветной картинке. На ней много разных и красивых завитушек. Если посмотреть на какую-нибудь завитушку в микроскоп, можно увидеть внутри ещё завитушки; и ещё, и ещё, и так до бесконечности. Эта картинка бесконечно сложна. Притом те узоры, что внутри, похожи на те узоры, что на «более высоком» уровне, но не совпадают с ними. При бесконечном полёте вглубь фрактала мы будем встречать бесконечное разнообразие всё новых и новых форм и цветов. Формула, по которой вычисляется картинка (формула функции F) очень, очень проста. Да вот она: W=Z*Z+1.Откуда же красота и сложность? В натуре, на ровном месте целая новая вселенная.

Можно смотреть на картинку и пробовать «понимать», почему узоры имеют такую, а не другую форму; почему они именно так расположены относительно друг друга и почему они похожи на ракушки.

Смотря просто на картинку (результат), можно строить правдоподобные теории о её смысле, гармонии и о законах её устройства. При том ничего не зная про формулу F.

Мы пока не умеем изловить связь тем между фактом, что узор нам что-то говорит, и между простым, безличным механизмом вычисления узора. ВСЁ, что есть в узоре, полностью определено простой формулой, по которой считаем цвет точки. Но как именно оно определено, мы понимать не умеем. Мы интерпретируем солнечный свет и радугу, как бы смотря на них из другого, внемашинного мира. Этот мир может быть образным, литературным и поэтичным, а может быть и занаученным формализованным, как Каббала Лайтмана, но этот зрительский мир интерпретации не похож на действительный механизм построения радуги.

У нас в мозгу тоже ВСЁ определено набором чисел, которые характеризуют «проводимость» синапсов. Как устроен этот мешок с числами, мы знаем (знаем, что и как соединено и по каким формулам работает). Поведение животного (результат) больше похоже на очень сложный и красивый орнамент, в котором мы ХОТИМ увидеть какие-то свои законы…

Как работает, мы знаем; а результат (узор поведения) понять не можем. Строим предположения, которые связаны с нашими желаниями.

Необходимое замечание! Я не утверждаю, что мышление имеет фрактальную природу. Фрактал приведён только в качестве примера «похожей непонятности». Работу модели паттерна изображают орбиты, а не сам фрактал. Орбиты могут и не быть фрактальными. Фракталы могут не быть красивыми или «сложными».

Есть и другие похожие вещи, о которых мы тоже знаем принцип работы, да вдобавок мы сами их и сделали, но результат всё равно понять не можем. Например, это гетеродин в радиоаппаратуре или CDMA-модуляция в мобильном телефоне Skylink. Что голос извлекается из сигнала CDMA, это получается по формулам. Можно произвести формально правильные на каждом этапе математические выкладки, и доказать, что голос будет извлечён. Но иногда хочется ещё вдобавок как-то «понять» это помимо формул…

И в заключение ещё картинка.

e-vi.org/...

Этот фрактал тоже порождён простой формулой. Картинка, привычное дело, опять бесконечно сложная. «Закон устройства» её прямо очевиден. Она сделана этак овально из таких этаких овалов. Каждому зрителю должно быть ясно, что картина символизирует бесконечную сложность полушарий головного мозга. Только нечестивые еретики говорят здесь о яичках. Видим мы также противозаконную окружость, которая нагло пересекает поперёк все овалы несообрано ни с какими понятиями. Зная формулу, можно формально доказать, что эта окружность там есть. Но из самого вида картинки мы это понимать пока не умеем.

Программы просмотра фракталов здесь:

http://www.fractint.org/

en.wikipedia.org/...

fractals.narod.ru/...

Леди Ада Августа Лавлейс — дочь поэта лорда Байрона. Сотрудница изобретателя компьютера Чарльза Бэббеджа. Считается первым программистом (программисткой). Сам компьютер Бэббеджа не сохранился (сохранились его обломки, может, программистка его расколотила?), и так и не известно, работал ли он. Первый промышленный компьютер был построен через 15 лет в 50-е гг 19 в. Это был станок с программным управлением — ткацкий станок Шаккарда.

Задача для математиков

Каких итерационных процессов больше, сходящихся или расходящихся?